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Kendall(ケンドール)の一致係数

 

　Kendallの一致係数W(ノンパラメトリック法)
Kendallでは関連多群での相関を判定することができる。なお、これはノンパラメトリック法である。

 

・仮説の設定
帰無仮説(H₀)：「相関はない」と仮定する。
対立仮説(H₁)：「相関はある」と仮定する。

 

・確率を求める
○行(要因B)を検定する場合
列(要因A)の各群ごとに順位をつける。その後、順位を足してR_iを求める。
(行数をk,列数をnとする)

 

○列(要因A)を検定する場合
行(要因B)の各群ごとに順位をつける。その後、順位を足してR_iを求める。
(行数をn,列数をkとする)

 

※ここまでの手順はFriedman検定のときと同じである

 

　

 

R_iを求めたら、R_iの偏差平方和Sを次の式によって求める。

 

　

 

※別に求めなくてもよいが、を使って偏差平方和Sを求める場合は下の式を使って導き出す。

 

　

 

偏差平方和Sを求めたら次の公式によってWを求める。なお、Wの取りうる値は0≦W≦1である。

 

　

 

次は、下の式によってX²rを求める。

 

　

 

Friedman検定のときと同じように判定する。

 

・k≦4のとき → Friedman検定表から求める
・判定
P≧αのとき帰無仮説を棄却できない。
P＜αのとき帰無仮説を棄却する。

 

・k＞4のとき → X²rは近似的に自由度df=k-1のX²分布に従う → X²分布表
・判定
X²≦X²_αのとき、P≧αとなり帰無仮説を棄却できない
X²＞X²_αのとき、P＜αとなり帰無仮説を棄却する

 

………………………………………………………………………………………………………………

 

　例題
理系の学生6人に好きな科目のアンケートをとった。学生が好きな科目に一貫性があるかどうかを判定せよ。

 

	国語	数学	英語	物理	化学	地理・歴史
A	6	2	4	1	3	5
B	5	1	4	2	3	6
C	5	2	5	3	1	4
D	6	5	2	3	1	4
E	5	3	4	1	2	6
F	5	1	6	2	3	4

(注：このデータは便宜的に作ったもので、実際のデータではない)

 

帰無仮説(H₀)：学生が好きな科目に一貫性がない
対立仮説(H₁)：学生が好きな科目に一貫性がある

 

・計算
好きな科目に一貫性があるかどうかを判定するので、行(科目)に注目する。最初から順序尺度のデータなので、そのまま各群で順位を足してR_iを求める。

 

	国語	数学	英語	物理	化学	地理・歴史
A	6	2	4	1	3	5
B	5	1	4	2	3	6
C	5	2	5	3	1	4
D	6	5	2	3	1	4
E	5	3	4	1	2	6
F	5	1	6	2	3	4
G	4	2	5	3	1	4
Ri	36	16	30	15	14	33	ΣRi=144
Ri2	1296	256	900	225	196	1089	ΣRi2=3962

 

　(ΣR_i)² = 144² = 20736 、 n=7,k=6

 

これらの数値から、下の式によってR_iの偏差平方和Sを求める。

 

　

 

次に、Sから下の式によってWを求める。

 

　

 

Wを求めたら、次の式によってX²_rを求める。

 

　

 

k＞4なので、X²_rは近似的に自由度df=k-1=6-1=5のX²分布に従う。X²分布表より、X²_0.05=11.071である。

 

X²=20.65＞11.071=X²_0.05なので、P＜0.05となり帰無仮説を棄却できる。よって、「学生が好きな科目に一貫性がある」ということができる。