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　ピアソンの相関係数、Spearmanの順位相関係数
　回帰と相関
回帰とはxとyでどのような関係式で表すことができるかである。例えば、回帰直線はy=a+bxの式で表され、aとbに何の数値が入るかを調べる。それに対し、相関はxとyの相互関係の強さである。

　　　

　ピアソンの相関係数(パラメトリック法)
相関の強さは相関係数rで表し、｜r｜≦1である。｜r｜が1に近いほど相関が強い。ただし、この検定はデータが正規分布するときに使用できる。

・仮説の設定
帰無仮説(H0)：「相関はない」と仮定する。
対立仮説(H1)：「相関はある」と仮定する。

・確率を求める
rを求めるのに必要な計算は回帰を求めるときと似ており、次の5つの式を計算する。

・Σxi ……… 　xを全て足したもの
・Σyi ……… 　yを全て足したもの
・Σxi2 ……… 　xの2乗を全て足したもの
・Σyi2 ……… 　yの2乗を全て足したもの
・Σxiyi　 ……… 　xとyの積を全て足したもの

上記の計算をしたら、下の式によってSxx,Sxy,Syyを求める。

　

次に下の式によって統計量rを求める。

　

rを求めたら、相関係数検定表(r表)からrαを求める。

・判定
｜r｜≦rαのとき、P＞0.05となる → 帰無仮説を棄却できない。
｜r｜＞rαのとき、P＜0.05となる → 帰無仮説を棄却する。

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　例題
健康診断を行ったところ、年齢と酵素Xの値で下のような結果を得た。このとき、年齢と酵素Xの量には関連があるかどうかを検定せよ。ただし、このデータは正規分布すると仮定する。

年齢 酵素X
35 47
20 62
63 36
59 40
14 58
44 46
42 50
年齢 酵素X
25 57
73 38
38 44
56 40
69 32
28 54
46 48
(注：このデータは便宜的に作ったもので、実際のデータではない)

帰無仮説(H0)：年齢と酵素Xの量には関連がない
対立仮説(H1)：年齢と酵素Xの量には関連がある

・計算
まずΣxi,Σyi,Σxi2,Σyi2,Σxiyiを求めるためにx,y,x2,xy,y2の表を作る。

x y x2 xy y2
35 47 1225 1645 2209
20 62 400 1240 3844
63 36 3969 2268 1296
59 40 3481 2360 1600
14 58 196 812 3364
44 46 1936 2024 2116
42 50 1764 2100 2500
25 57 625 1425 3249
73 38 5329 2774 1444
38 44 1444 1672 1936
56 40 3136 2240 1600
69 32 4761 2208 1024
28 54 784 1512 2916
46 48 2116 2208 2304
Σxi=612 Σyi=652 Σxi2=31166 Σxiyi=26488 Σyi2=31402

Σxi,Σyi,Σxi2,Σyi2,Σxiyiを求めたら、今度は偏差平方和(Sxx,Sxy,Syy)を求める。

　

偏差平方和を求めたら、次は統計量rを求める。

　

このときのr0.05はn=14のとき相関係数検定表(r表)から、r0.05=0.532であると分かる。

｜r｜=0.943＞0.532=r0.05より、P＜0.05となるので帰無仮説を棄却できる。つまり、「年齢と酵素Xの量には関連がある」ということができる。

　　　

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　Spearmanの順位相関係数(ノンパラメトリック法)
データが正規分布するならピアソンの相関係数rで検定すればいいが、正規分布しないならSpearmanの順位相関係数rsで検定する。

・仮説の設定
帰無仮説(H0)：「相関はない」と仮定する。
対立仮説(H1)：「相関はある」と仮定する。

・確率を求める
[計算法１]
まず、x,yごとに1→n番まで順位を付ける。順位を付けたら、対応するxの順位rxiとyの順位ryiの差diを求める。diを計算したら、その二乗di2を求める。

diとdi2を求めることができたら、下の計算式によってrsを導く。

　

[計算法２]
xの順位rxiとyの順位ryiから相関係数を求める。(ピアソンの相関係数のときと同じ計算)

Σrxi,Σryi,Σrxi2,Σryi2,Σrxiryiを求めた後、偏差平方和Srxrx,Srxry,Sryryを計算して下の式に代入する。

　

n≦30のとき、Spearman検定表から判定する。
・判定
P≧αのとき帰無仮説を棄却できない。
P＜αのとき帰無仮説を棄却する。

n＞30のとき、t=が自由度df=n-2のt分布をする → ｔ分布表から判定
・判定
｜t｜≦tαのとき、P≧αとなり帰無仮説を棄却できない。
｜t｜＞tαのとき、P＜αとなり帰無仮説を棄却する。有意差あり。

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健康診断を行ったところ、年齢とある酵素の値で下のような結果を得た。このとき、年齢と酵素Xの量には関連があるかどうかを検定せよ。ただし、このデータは正規分布しないと仮定する。

年齢 酵素X
35 47
20 62
63 36
59 40
14 58
44 46
42 50
年齢 酵素X
25 57
73 38
38 44
56 40
69 32
28 54
46 48
(注：このデータは便宜的に作ったもので、実際のデータではない)

帰無仮説(H0)：年齢と酵素Xの量には関連がない
対立仮説(H1)：年齢と酵素Xの量には関連がある

・計算
[計算法１]
x,yについて順位をつけてrxiとryiを導く。rxiとryiの差diとその二乗di2を求める。

年齢 酵素X 順位 順位差
x y rxi ryi di di2
35 47 5 8 -3 9
20 62 2 14 -12 144
63 36 12 2 10 100
59 40 11 4.5 6.5 42.25
14 58 1 13 -12 144
44 46 8 7 1 1
42 50 7 10 -3 9
25 57 3 12 -9 81
73 38 14 3 11 121
38 44 6 6 0 0
56 40 10 4.5 5.5 30.25
69 32 13 1 12 144
28 54 4 11 -7 49
46 48 9 9 0 0
　Σdi2=874.5

di2の和(Σdi2)の値は874.5なので、下の式に代入してrsを求める。

　

[計算法２]
Σrxi,Σryi,Σrxi2,Σryi2,Σrxiryiを求めた後、偏差平方和Srxrx,Srxry,Sryryを計算する。

rxi ryi rxi2 rxiryi ryi2
5 8 25 40 64
2 14 4 28 196
12 2 144 24 4
11 4.5 121 49.5 20.25
1 13 1 13 169
8 7 64 56 49
7 10 49 70 100
3 12 9 36 144
14 3 196 42 9
6 6 36 36 36
10 4.5 100 45 20.25
13 1 169 13 1
4 11 16 44 121
9 9 81 81 81
Σxi=105 Σyi=105 Σxi2=1015 Σxiyi=577.5 Σyi2=1014.5

・Srxrx = 227.5
・Srxry = -210
・Sryry = 227

次に、下の式に代入してrsを求める。

　

n≦30なので、Spearman検定表から判定する。n=8のとき、P＜0.05となる最小のrs値は0.539である。つまり、rsが0.539よりも値が大きければ帰無仮説を棄却できる。

ここでは｜r｜＞0.539なので、P＜0.05となり帰無仮説を棄却できる。つまり、「年齢と酵素Xの量には関連がある」と判断できる。