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役に立つ薬の情報~専門薬学

一元配置分散分析法、Kruskal-Wallis(クラスカル・ワリス)検定 (独立多群)

 

 多群の検定
群数が二つなら二標本の検定をするが、三つ以上の群がある場合は多群での検定をする必要がある。独立多群の検定では「データのどこかに差があるかどうか」を検定する。ただし、どことどの群で差があるかまでは分からない。

 

多群を検定するとき、「それぞれの群を二標本t検定で検定すればよいのでは」と疑問が生じてくるが、実際にこの方法を行ってはいけない。これは、判定を間違ってしまう確率が高くなるからである。

 

二群の検定で判定が有意差「無」と判断される確率は(1-α)である。それでは、二群の検定を三回行った場合で三つとも有意差「無」と判断される確率は(1-α)3となる。このとき、逆に有意差「有」と判断される確率は1-(1-α)3となってしまう。

 

もし、検定をn回するなら(間違って)有意差「有」と判断される確率は1-(1-α)nとなってしまう。(5群で有意差を検定すると約40%、10群では90%の確率で有意差「有」と判断される)

 

つまり、二標本t検定で多群を検定すると高い確率で有意差「有」と判断され、実際には「差がない」のに「差がある」と誤って判断してしまう。これでは検定をしても意味がない。これを回避するため、多群を同時に比較する検定をする必要がある。

 

 一元配置分散分析法(パラメトリック法)
この検定は独立多群の検定であり、「各群の分散が等しい」という条件がある。各群の分散が等しいかどうかはBartlett検定を用いる。もしBartlett検定で各群の分散が等しくないと判断されたらKruskal-Wallis検定を使う。

 

・仮説の設定
帰無仮説(H0):「各群で差がない」と仮定する。
対立仮説(H1):「各群で差がある」と仮定する。

 

・確率を求める
統計量を求めるには、まずデータ数n,平均値,分散s2,総平均を求める必要がある。

 

 

測定値

データ数

平均値

分散

A1

○○…○

n1

1

s12

A2

○○…○

n2

2

s22

 

 

 

 

Ak

○○…○

nk

k

sk2

 

 総平均=…

 

データ数n,平均値,分散s2,総平均を求めたら、これらの値を使って群間変動と群内変動を計算する。下にそれぞれの式を示す。

 

・群間変動
偏差平方和SA

 

 

 

自由度dfA=k-1

 

・群内変動
偏差平方和SE

 

 

 

自由度dfE=N-k (N=n1+n2+… nk)

 

群間変動と群内変動の偏差平方和と自由度を求めると、そこから分散値を計算して分散比Fを求める。

 

 

偏差平方和

自由度

分散

分散比F

群間変動

SA

dfA=k-1

sA2=SA/dfA

群内変動

SE

dfE=N-k

sE2=SE/dfE

 

自由度dfA(=df1), dfE(=df2)でF分布表からFαを求めて計算したF値と比べる。

 

・判定
1≦F≦Fαのとき、P>0.05となる→帰無仮説を棄却できない。
F>Fαのとき、P<0.05となる→帰無仮説を棄却する。

 

………………………………………………………………………………………………………………

 

 例題
あるホルモンの活性を調べると、次のような結果を得た。群間に差があるかどうかを検定せよ。

 

 

データ数

平均値

分散

A群

21

23

19

25

4

22

5

B群

10

6

14

 

3

10

10.7

C群

25

31

29

23

4

27

10

D群

14

16

21

 

3

17

8.7

 

 総平均=19.79
(注:このデータは便宜的に作ったもので、実際のデータではない)

 

総平均は平均値を足して割った値 {(22+10+27+17)/4=19} ではない。すべてのセルの値を足して、その数で割った値である。

 

帰無仮説(H0):ホルモン活性に差がない。
対立仮説(H1):ホルモン活性に差がある。

 

・計算
一元配置分散分析法をするかKruskal-Wallis検定をするかは、Bartlett検定によって「各群の分散が等しいかどうか」を決定して判断する。

 

・Bartlett検定
帰無仮説(H0):各群の分散は均一である
対立仮説(H1):各群の分散は均一でない

 

まず、群内変動を計算する。各群の分散からsEを求めると、次のようになる。

 

 sE = = 3×5+2×10.7+3×10+2×8.7 = 83.7

 

 sE2 = 83.7/(N-k) = 83.7/10 = 8.37

 

M値とC値を計算して、X2値を求めるとX2=0.833となる。自由度df=k-1=4-1=3のX2分布表より、X20.05=7.815となる。

 

X2<X20.05なので、P>0.05となり帰無仮説を棄却でない。
(各群の分散は均一と判断 → 一元配置分散分析法を行う)

 

 

・一元配置分散分析法
群内変動はBartlett検定をするときにすでに計算しているので求めなくてよい。ここでは、群間変動を計算する。

 

 
    = 4×(22-19.57)2 +3×(10-19.57)2 +4×(27-19.57)2 +3×(17-19.57)2
    = 539

 

群間変動と群内変動を分散分析表にまとめると、下のようになる。

 

 

偏差平方和

自由度

分散

分散比F

群間変動

SA

dfA=k-1

sA2=SA/dfA

F=15.3

 

539

3

180

群内変動

SE

dfE=N-k

sE2=SE/dfE

 

117.9

10

11.79

 

F分布表より、dfA=3, dfE=10のときF0.05=3.71

 

F=15.3>3.71=F0.05より、P<0.05となり帰無仮説を棄却できる。よって、「ホルモン活性に差がある」ということができる。

 

………………………………………………………………………………………………………………

 

 Kruskal-Wallis検定(ノンパラメトリック法)
Bartlett検定で「各群の分散は均一である」と判断されれば一元配置分散分析法をすればよいが、「各群の分散は均一でない」と判断されたならKruskal-Wallis検定をする。

 

・仮説の設定
帰無仮説(H0):「各群で差がない」と仮定する。
対立仮説(H1):「各群で差がある」と仮定する。

 

・確率を求める
Kruskal-Wallis検定では、まずすべてのデータを小さいものから1番→2番→……→N番と順位を付ける。この順位を各群ごとに足してRiを求める。Riを求めたら、下の計算式によって統計量Hを計算する。(N=データの総数、k=群数)

 

 

 

確率を求めるとき、条件によって異なる求め方をしないといけない。下にそれぞれの確率の求め方を示す。

 

k=3かつN≦17のときKruskal-Wallis検定表から求める
・判定
P≧αのとき帰無仮説を棄却できない。
P<αのとき帰無仮説を棄却する。

 

上の条件以外のとき → Hは近似的に自由度df=k-1のX2分布に従う → X2分布表
・判定
X2≦X2αのとき、P≧αとなり帰無仮説を棄却できない
X2>X2αのとき、P<αとなり帰無仮説を棄却する

 

………………………………………………………………………………………………………………

 

 例題
あるホルモンの活性を調べると、次のような結果を得た。群間に差があるかどうかを検定せよ。

 

 

データ数

平均値

分散

A群

21

23

19

25

4

22

5

B群

10

6

14

 

3

10

10.7

C群

25

31

29

23

4

27

10

D群

14

16

21

 

3

17

8.7

 

(注:このデータは便宜的に作ったもので、実際のデータではない)

 

このデータは一元配置分散分析法のときと全く同じ問題である。このデータはBartlett検定で「各群の分散は均一である」と判断されているが、ここでは「各群の分散は均一でない」として検定を進める。

 

帰無仮説(H0):ホルモン活性に差がない。
対立仮説(H1):ホルモン活性に差がある。

 

・計算
まず、データを小さい順で1から14番まで順位をつける。そのときの順位は下のようになる。

 

 

Ri

A群

7.5

9.5

6

11.5

34.5

B群

2

1

3.5

6.5

C群

11.5

14

13

9.5

48

D群

3.5

5

7.5

16

 

N = 4+3+4+3 = 14

 

順位を足してRiを求めたら、次の式によって統計量Hを計算する。

 

 

 

この場合、k=3かつN≦17ではないのでX2αを求める。X2分布表よりX20.05=7.815であると分かる。このときの自由度はdf=k-1=4-1=3である。

 

X2 = 10.595 > 7.815 = X20.05 より、P<0.05となり帰無仮説は棄却される。よって、「ホルモン活性に差がある」といえます。

 

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