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一元配置分散分析法、Kruskal-Wallis検定 |
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| 多群の検定 群数が二つなら二標本の検定をするが、三つ以上の群がある場合は多群での検定をする必要がある。独立多群の検定では「データのどこかに差があるかどうか」を検定する。ただし、どことどの群で差があるかまでは分からない。 多群を検定するとき、「それぞれの群を二標本t検定で検定すればよいのでは」と疑問が生じてくるが、実際にこの方法を行ってはいけない。これは、判定を間違ってしまう確率が高くなるからである。 二群の検定で判定が有意差「無」と判断される確率は(1-α)である。それでは、二群の検定を三回行った場合で三つとも有意差「無」と判断される確率は(1-α)3となる。このとき、逆に有意差「有」と判断される確率は1-(1-α)3となってしまう。 もし、検定をn回するなら(間違って)有意差「有」と判断される確率は1-(1-α)nとなってしまう。(5群で有意差を検定すると約40％、10群では90％の確率で有意差「有」と判断される) つまり、二標本t検定で多群を検定すると高い確率で有意差「有」と判断され、実際には「差がない」のに「差がある」と誤って判断してしまう。これでは検定をしても意味がない。これを回避するため、多群を同時に比較する検定をする必要がある。 一元配置分散分析法(パラメトリック法) この検定は独立多群の検定であり、「各群の分散が等しい」という条件がある。各群の分散が等しいかどうかはBartlett検定を用いる。もしBartlett検定で各群の分散が等しくないと判断されたらKruskal-Wallis検定を使う。 ・仮説の設定 帰無仮説(H0)：「各群で差がない」と仮定する。 対立仮説(H1)：「各群で差がある」と仮定する。 ・確率を求める 統計量を求めるには、まずデータ数n,平均値  ,分散s2,総平均 を求める必要がある。
＝…データ数n,平均値 ,分散s2,総平均を求めたら、これらの値を使って群間変動と群内変動を計算する。下にそれぞれの式を示す。・群間変動 偏差平方和SA  自由度dfA=k-1 ・群内変動 偏差平方和SE  自由度dfE=N-k (N=n1+n2+ … nk) 群間変動と群内変動の偏差平方和と自由度を求めると、そこから分散値を計算して分散比Fを求める。
自由度dfA(=df1), dfE(=df2)でF分布表からFαを求めて計算したF値と比べる。 ・判定 1≦F≦Fαのとき、P＞0.05となる→帰無仮説を棄却できない。 F＞Fαのとき、P＜0.05となる→帰無仮説を棄却する。 ……………………………………………………………………………………………………………… 例題 あるホルモンの活性を調べると、次のような結果を得た。群間に差があるかどうかを検定せよ。
＝19.57(注：このデータは便宜的に作ったもので、実際のデータではない) 総平均 は平均値を足して割った値{(22+10+27+17)/4}ではない。すべてのセルの値を足して、その数で割った値である。※(22+10+27+17)/4=19となる。帰無仮説(H0)：ホルモン活性に差がない。 対立仮説(H1)：ホルモン活性に差がある。 ・計算 一元配置分散分析法をするかKruskal-Wallis検定をするかは、Bartlett検定によって「各群の分散が等しいかどうか」を決定して判断する。 ・Bartlett検定 帰無仮説(H0)：各群の分散は均一である 対立仮説(H1)：各群の分散は均一でない まず、群内変動を計算する。各群の分散からsEを求めると、次のようになる。 sE =  = 3×6.67 + 2×16 + 3×13.3 + 2×13 = 117.9sE2 = 117.9/(N-k) = 117.9/10 = 11.79 M値とC値を計算して、X2値を求めるとX2=0.833となる。自由度df=k-1=4-1=3のX2分布表より、X20.05=7.815となる。 X2＜X20.05なので、P＞0.05となり帰無仮説を棄却でない。 (各群の分散は均一である → 一元配置分散分析法を行う) ・一元配置分散分析法 群内変動はBartlett検定をするときにすでに計算しているので求めなくてよい。ここでは、群間変動を計算する。 = 4×(22-19.57)2 + 3×(10-19.57)2 + 4×(27-19.57)2 + 3×(17-19.57)2 = 539 群間変動と群内変動を分散分析表にまとめると、下のようになる。
F分布表より、dfA=3, dfE=10のときF0.05=3.71 F=15.3＞3.71=F0.05より、P＜0.05となり帰無仮説を棄却できる。よって、「ホルモン活性に差がある」ということができる。 ……………………………………………………………………………………………………………… Kruskal-Wallis検定(ノンパラメトリック法) Bartlett検定で「各群の分散は均一である」と判断されれば一元配置分散分析法をすればよいが、「各群の分散は均一でない」と判断されたならKruskal-Wallis検定をする。 ・仮説の設定 帰無仮説(H0)：「各群で差がない」と仮定する。 対立仮説(H1)：「各群で差がある」と仮定する。 ・確率を求める Kruskal-Wallis検定では、まずすべてのデータを小さいものから1番→2番→……→N番と順位を付ける。この順位を各群ごとに足してRiを求める。Riを求めたら、下の計算式によって統計量Hを計算する。(N=データの総数、k=群数)  確率を求めるとき、条件によって異なる求め方をしないといけない。下にそれぞれの確率の求め方を示す。 ・k=3かつN≦17のとき → Kruskal-Wallis検定表から求める ・判定 P≧αのとき帰無仮説を棄却できない。 P＜αのとき帰無仮説を棄却する。 ・上の条件以外のとき → Hは近似的に自由度df=k-1のX2分布に従う → X2分布表 ・判定 X2≦X2αのとき、P≧αとなり帰無仮説を棄却できない X2＞X2αのとき、P＜αとなり帰無仮説を棄却する ……………………………………………………………………………………………………………… 例題 あるホルモンの活性を調べると、次のような結果を得た。群間に差があるかどうかを検定せよ。
このデータは一元配置分散分析法のときと全く同じ問題である。このデータはBartlett検定で「各群の分散は均一である」と判断されているが、ここでは「各群の分散は均一でない」として検定を進める。 帰無仮説(H0)：ホルモン活性に差がない。 対立仮説(H1)：ホルモン活性に差がある。 ・計算 まず、データを小さい順で1から14番まで順位をつける。そのときの順位は下のようになる。
順位を足してRiを求めたら、次の式によって統計量Hを計算する。  この場合、k=3かつN≦17ではないのでX2αを求める。X2分布表よりX20.05=7.815であると分かる。このときの自由度はdf=k-1=4-1=3である。 X2=2.17＜7.815=X20.05 より、P＞0.05となり帰無仮説を棄却できない。よって、「ホルモン活性に差がない」ということができる。   |
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